Modelos Matematicos de la Ley de Senos y Cosenos Ejercicios

Teorema o ley del seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejercicios

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

Teorema o ley del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos 

menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm,

 y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Teorema o ley de la tangente

Si A y B son ángulos de un triángulo y sus lados

 correspondientes son a y b, se cumple que:

Graficas de las Funciones Trigonometricas

las funciones trigonométricas presentan una característica especial que es la periodicidad. Esta característica hace posible que con ellas podamos modelar una gran variedad de aplicaciones de la vida real.
Por ejemplo, las mareas describen el cambio periódico en el nivel del mar. La gráfica del modelo de este fenómeno es como sigue:



Podemos intuir que esta variación puede ser modelada utilizando la función seno. Sin embargo, hace falta ajustar el periodo de la función para que represente el periodo real del fenómeno. Es decir, necesitamos que el periodo de la función sea de 24 horas.
En esta lección, estudiaremos las transformaciones que hacen posible cambiar el periodo de las funciones trigonométricas y a identificar el periodo en las funciones transformadas.

Cambio de Periodo

Recordemos que el periodo de las funciones sen(x) y cos(x) es 2π. Analicemos cómo cambia este periodo en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Grafica e identifica el periodo de la función $f$ x = sen 2 x

En la figura se muestra la gráfica de la función sen(2x). Además, se muestra para referencia, la gráfica de la función sen(x) en lineas puntedas.
Observando la gráfica, podemos notar que el periodo de sen(2x) es π.
Notemos que el cambio en el periodo tiene relación con el valor 2 que multiplica a la variable x, pues al duplicar la entrada (el valor de x), el periodo se reduce a la mitad.
Ejemplo 2:





En la figura se muestra la gráfica de la función sen(2x). Además, se muestra la gráfica de la función sen(x) en lineas puntedas.
Notemos, observando la gráfica, que el periodo de sen(x/2) es 4π

Funciones Trigonometricas

Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:


1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA

Trigonometria

¿Que es la Trigonométrica?

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.¹

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.

Papiro de Ahmes

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es lacotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.

MEDIA PROPORCIONAL

MEDIA PROPORCIONAL

En un triangulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los lados , partes en que se dividen a esta.
en el triangulo rectángulo de la escena ABC se a trazado la altura AD sobre la hipotenusa BC cumpliéndose para cualquier triangulo rectángulo la igualdad:

                 BD = AD
                ----     ----
                  AD     DC

La razón por la que se cumple esta igualdad es por que la altura AD divide al triangulo ABC en otros dos que son semejantes por que tienen los ángulos iguales (ambos son rectángulos y los dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares).

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

Área de Polígonos regulares

POLÍGONOS REGULARES: Observando que basta sumar las áreas de triángulos iguales.


 h: es la altura del triangulo o apotema del polígono.
b: es la base del triangulo o polígono

ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR:
= CANTIDAD DE LADOS.   Lado* APOTEMA
                                               ----------------
                                                          2

CANTIDAD DE TRIÁNGULOS  POR EL ÁREA DE CADA TRIANGULO : lo que equivale a decir :
área del polígono regular =

perímetro * apotema
---------------------
               2

SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES (ejercicio)

Suma de Ángulos Interiores en un polígono convexo

1._Sabemos que la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono esta dado por:
(n-2)(180°) , donde "n" es el numero de lados del polígono.

podemos plantear una ecuación igualando esta expresión con los 1080°

(n-2)(180°)= 1080°
180°n - 360°= 1080°
180° n = 1080° + 360°
180°n =1140°
n=1140°/180°
n= 8 lados (octágono).

2._como el numero de lados es igual al numero de vértices , el polígono va a tener 8 vértices

3._para conocer el valor de cada angulo dividimos los 1080°entre 8 lados lo que nos da: 135°

4._el numero de diagonales se determinan tomando en cuenta lo siguiente:
n(n-3)/2, donde "n" es el numero de lados sustituimos 8 lados en la expresion:

8 ( 8-3) /2
8 ( 5) / 2
40/2
20
resultado es 20 diagonales